Rappels de géométrie dans le plan et dans l'espace

Exemple 2.4

	colinéaire	orthogonaux	base
$(\vec u,\vec v)$	❌	❌	✅
$(\vec u,\vec w)$	✅	❌	❌
$(\vec u,\vec i)$	❌	❌	✅
$(\vec i,\vec j)$	❌	✅	✅
$(\vec v,\vec w)$	❌	❌	✅

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Exemple 2.10

doite affine passant par A $\binom{1}{2}$ et de vecteur directeur $\vec u = 3\vec i +2\vec j$.
équation affine : $y=\frac23x$
équation paramétrique :

$$\embrace{&x = 3t+1\\ &y =2t+2}{\{}{.}$$

Droite affine $y=2x+1$.
Elle passe par le point B $\binom13$.
vecteur directeur : $2\vec i + \vec j$
équation paramétrique :

$$\embrace{&x = 2t+1\\ &y =t+3}{\{}{.}$$

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Exemple 2.13

$\vec u = 3\vec i + 2\vec j$
$\vec v = 2\vec i + 3\vec j$
$\vec w = 6\vec i + 4\vec j$

$$\begin{split} \vec u_{\vec i} = \frac{\vec u *\vec i}{||\vec i||^2}=3\vec i\n \vec u_{\vec j} = \frac{\vec u *\vec j}{||\vec j||^2}=2\vec j \end{split}\n \vec u_{\vec v} = \frac{\vec u * \vec v}{||\vec v||^2}*\vec v$$

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Exemple 2.22

$(\vec u,\vec v,\vec w)$ Non car $\vec w = 2*\vec u$
$(\vec u,\vec v,\vec k)$ Oui
$(\vec i,\vec j,\vec v)$ Non car $\vec v = k\vec i + k'\vec j$
$(\vec i,\vec j,\vec w)$ Oui

$\vec u = 3\vec i +2\vec j+\vec k$
$\vec v = 2\vec i + 3\vec j$
$\rightarrow \vec v-2\vec i =3\vec j$
$\Rightarrow\vec j = \frac13\vec v-\frac23\vec i$

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Exemple 2.25

droite de vecteur directeur $\vec u=3\vec i +2\vec j$
équations linéaires :

$$\embrace{&2x-3y=0\\&z=0}{\{}{.}$$

équations paramétriques :

$$\embrace{&x(t)=3t\\ &y(t)=2t\\ &z(t)=0}{\{}{.}$$

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Exemple 2.27

Soit la droite affine passant par $A(1,2,3)$ de vecteur directeur $\vec u=3\vec i+2\vec j$
équations linéaires :

$$\embrace{&2x-3y=-4\\&z=3}{\{}{.}$$

équations paramétriques :

$$\embrace{&x(t)=3t+1\\&y(t)=2t+2\\&z(t)=3}{(}{)}$$

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Soit la droite affine d'équations $y=2x+1$ et $z=x+y+1$. Un point est $B(0,1,2)$
Un autre est $C(1,3,5)$
D'où le vecteur unitaire $\vec u = (1-0)\vec i+(3-1)\vec j+(5-2)\vec k = \vec i+2\vec j+3\vec k$.

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Exemple 2.30

Soit les vecteurs :
$\vec u =3\vec i+2\vec j+\vec k$
$\vec v =2\vec i+3\vec j$
$\vec w =6\vec i+4\vec j+2\vec k$
On a les projetés orthogonaux suivants :
$\vec u_{\vec i} = 3\vec i$ ; $\vec u_{\vec j} = 2\vec j$ ;
$\vec u_{\vec v} = \frac{6+6+0}{4+9}\vec v=\frac{12}{13}\vec v$ ;
$\vec u_{\vec w} = \frac{18+8+2}{36+16+4}\vec w=\frac{1}{2}\vec w$

Soit le point $A(1,2,3)_Q$, $\vec{OH}=\vec i$ donc $H(1,0,0)_Q$

$$\embrace{&y=x-2\\&x+y+z=1}{\{}{.}\quad\embrace{&H\in D\\&\vec{AH \perp \vec v}}{.}{.}\quad\embrace{&y_h=x_h-2\\&x_h+y_h+z_h=1}{\{}{.}$$

$x_h+x_h-2+z_h=1\Leftrightarrow z_h=3-2x_h=3-\frac53=\frac43$
$\vec{AH}\perp\vec v\Leftrightarrow(x_h-1)+(y_h-2)-2(z_h-3)=6$
$\quad\Rightarrow(x_h-1)+(x_h-4)-2(z-2x_h-3)=0$
$\quad\Rightarrow x_h = \frac56$

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Exemple 2.33

Soit les vecteurs
$\vec u=3\vec i+2\vec j\in P$
$\vec k\in P$
On a
$x(t,s)=3t$
$y(t,s)=2t$
$z(t,s)=s$ avec $t,s\in\R^2$

$ax+by+cz=0$
$\vec u\in P\rightarrow 3a+2b=0\Rightarrow b=-\frac32b$
$\vec k\in P\rightarrow c=0$
$ax-\frac32ay=0\Leftrightarrow a(2x-3y)=0$
$a\neq0$ donc $P:2x-3y=0$

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Soit les vecteurs
$\vec u=2\vec i+3\vec j+\vec k\in P$
$\vec v =\vec i+\vec j+\vec k\in P$
On a
$x(t,s)=2t+s$
$y(t,s)=3t+s$
$z(t,s)=t+s$

$ax+by+cz=0$
$\vec u\in P\rightarrow 2a+3b+c=0\Rightarrow c=-2a-3b$
$\vec v\in P\rightarrow a+b+c=0\Rightarrow -a-2b=0\Rightarrow b=-\frac12a$
$ax-\frac12ay+(-2a+\frac32a)z=0\Rightarrow a(x-\frac12y-\frac12z)=0$
$a\neq0$ donc $P:x-\frac12y-\frac12z=0$

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Soit le plan vectoriel d'équation $y=2x$
$2x+1y+0z=0$
On peut donc prendre les vecteurs
$\vec u=(1,2,0)_B$ et $\vec v=(0,0,1)_B$
ON a alors les équation paramétrique suivantes :
$x(t,s)=t+s$
$y(t,s)=2t$
$z(t,s)=s$

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Exemple 2.35

Soit le plan P passant par le point $A=(1,2,3)_B$.
Soit ses vecteur directeurs $\vec u=3\vec i +2\vec j$ et $\vec v =\vec i+\vec j$.
Une forme de ses équations paramétrique est :
$x(t,s)=3t+s+1$
$y(t,s)=2t+s+2$
$z(t,s)=3$
On cherche t et s en via les deux premières équations
$x-y=t-1\Rightarrow t=x-y+1$
$s=y-2-2*(x-y+1)$
$s=3y-4-2x$
Et on injecte les valeurs trouvées dans la troisieme equation
et $z=z$

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Soit le plan P d'équation $2x+y+z-2=0$ On peut y placer les points $A(1,0,0)_R$ ou $B(1,2,-2)_R$.
On peut trouver les vecteur directeurs satistant $2x+y+z=0$
$\vec u=(1,0,-2)_B$ et $\vec v(1,-2,0)_B$
Une forme de ses équations paramétriques est :
$x(t,s)=1+t+s$
$y(t,s)=-2s$
$z(t,s)=-2t$, avec $t,s\in\R^2$

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Exemple 2.38

Soit le vecteur
$\vec u\phantom{_{\vec i,\vec j}} = 3\vec i+2\vec j+\vec k$
On peut avoir les projetés orthogonaux suivants :
$\vec u_{\vec i,\vec j}=3\vec i+2\vec j$
$\vec u_{\vec i,\vec k}=3\vec i+\vec k$
Soit le point $A(1,2,3)$

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On peut avoir l es projetés orthogonaux suivants :
$A_{(0;\vec i;\vec u)}$ :
$P:x+y+z-1=0$
$\lambda=\frac{1+2+3-1}{1^2+1^2+1^2}=\frac53$
$x_A=1-\frac53=-\frac23$
$y_A=2-\frac53=\frac13$
$z_A=3-\frac53=\frac43$