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Mathématiques - Algèbre linéaire - CC1

Chapitres traités :

  • Logique et raisonnements mathématiques
  • Géométrie dans le plan et dans l'espace
  • Espaces vectoriels
Durée Matériel autorisé Nombre d'exercices Barème
1h aucun 5 /20

Énoncé

Exercice 1 (3 points)

Question 1.1

Montrer par récurence que pour tout ninN∗n\\in\\N^* : sumi=1ni2=fracn6(n+1)(2n+1)\\sum_{i=1}^{n}i^2=\\frac n6(n+1)(2n+1).

Exercice 2 (3 points)

Dans l'espace affine mathcalE\\mathcal{E} muni du repère orthonormé canonique mathcalR=(0;veci,vecj,veck)\\mathcal{R} = (0;\\vec i,\\vec j,\\vec k), on note AA le point de coordonées ParseError: KaTeX parse error: Got function '\\' with no arguments as subscript at position 9: (1,2,3)_\̲\̲mathcal{R} et PP le plan d'équation x+y+z−1=0x+y+z-1=0.

Question 2.1

Calculer le projeté orthogonal HH de AA sur le plan PP.

Question 2.2

Le symétrique A′A' de AA par rapport au plan PP est le point de mathcalE\\mathcal{E} tel que vectorAA′=2vectorAH\\vector{AA'}=2\\vector{AH}.
Calculer A′A'.

Exercice 3 (6 points)

Question 3.1

Dans le plan affine mathcalP\\mathcal{P} muni du repère orthonormé canonique mathcalR=(0,veci,vecj)\\mathcal{R}=(0,\\vec i,\\vec j) on définit deux points par leurs coordonnées : ParseError: KaTeX parse error: Got function '\\' with no arguments as subscript at position 9: A=(1,2)_\̲\̲mathcal{R} et ParseError: KaTeX parse error: Got function '\\' with no arguments as subscript at position 10: B=(-2,1)_\̲\̲mathcal{R}. Ces deux points définissent la droite (AB)(AB) : en donner un vecteur directeur, la pente, une représentation paramétrique avec tt pour paramètre, les valeurs tAt_A et tBt_B du paramètre tt correspondant aux points AA et BB respectivement, une équation cartésienne.

Question 3.2

Dans l'espace affine mathcalE\\mathcal{E} muni du repère orthonormé canonique mathcalR=(0,veci,vecj,veck)\\mathcal{R}=(0,\\vec i,\\vec j,\\vec k) on définit trois points par leurs coordonnées : ParseError: KaTeX parse error: Got function '\\' with no arguments as subscript at position 11: A=(1,1,0)_\̲\̲mathcal{R}, ParseError: KaTeX parse error: Got function '\\' with no arguments as subscript at position 12: B=(0,-1,1)_\̲\̲mathcal{R} et ParseError: KaTeX parse error: Got function '\\' with no arguments as subscript at position 12: C=(-2,1,2)_\̲\̲mathcal{R}. Pour le plan PP défini par ces trois points, donner : des vecteurs directeurs, une représentation paramétrique, les valeurs des paramètres pour les trois points, une équation cartésienne, une représentation paramétrique de la droite orthogonale à PP en AA.

Exercice 4 (3.5 points)

Soient a=(1,−1,1)a=(1,-1,1), b=(0,−1,2)b=(0,-1,2) et c=(1,−2,3)c=(1,-2,3) trois élements de l'espace vectoriel R3\\R^3.

Question 4.1

Montrer que (a,b,c)(a,b,c) est un système lié.

Question 4.2

Soit FF le sous-espace vectoriel de R3\\R^3 engendré par (a,b,c)(a,b,c). Donner une base de FF.

Question 4.3

Soit G=(x,y,z)inR3∣x+2y+z=0G=\\{(x,y,z)\\in\\R^3\\ |\\ x+2y+z=0\\}. Montrer que GG est un sous espace vectoriel de R3\\R^3 et en donner une base.

Question 4.4

Montrer que F=GF=G.

Exercice 5 (4.5 points)

Parmi les ensembles suivants, définis comme sous-ensembles d'un R\\R-espace vectoriel EE explicite, déterminer ceux qui sont des sous-espaces vectoriels et ceux qui n'en sont pas - Attention : 0.5 point par réponse juste et -0.5 point par réponse fausse :

Question 5.1

(x,y,z)inR3∣x+y=0\\{\\ (x,y,z)\\in\\R^3\\ |\\ x+y=0\\ \\}

Question 5.2

(x,y,z,t)inR4∣x=ttextety=z\\{\\ (x,y,z,t)\\in\\R^4\\ |\\ x=t \\text{ et } y=z\\ \\}

Question 5.3

(x,y,z)inR3∣z=1\\{\\ (x,y,z)\\in\\R^3\\ |\\ z=1\\ \\}

Question 5.4

(x,y)inR2∣x2+xy=0\\{\\ (x,y)\\in\\R^2\\ |\\ x^2+xy=0\\ \\}

Question 5.5

(x,y)inR2∣x2+y2ge1\\{\\ (x,y)\\in\\R^2\\ |\\ x^2+y^2\\ge1\\ \\}

Question 5.6

mathcalfinmathcalF(R,R)∣mathcalf(0)=1\\{\\ \\mathcal{f}\\in\\mathcal{F}(\\R,\\R)\\ |\\ \\mathcal{f}(0)=1\\ \\}

Question 5.7

mathcalfinmathcalF(R,R)∣mathcalf(1)=0\\{\\ \\mathcal{f}\\in\\mathcal{F}(\\R,\\R)\\ |\\ \\mathcal{f}(1)=0\\ \\}

Question 5.8

mathcalfinmathcalF(R,R)∣mathcalftextestcroissante\\{\\ \\mathcal{f}\\in\\mathcal{F}(\\R,\\R)\\ |\\ \\mathcal{f}\\text{ est croissante}\\ \\}

Question 5.9

ParseError: KaTeX parse error: Got function '\\' with no arguments as superscript at position 31: …\in\\N}\\in\\R^\̲\̲N\\ |\\ (u_n) \…

Correction

Exercice 1 (3 points)

Question 1.1

  • Initialisation
    Pour n=1n = 1, on a :
    sumi=11i2=1\\sum_{i=1}^{1}i^2=1 et frac16(1+1)(2∗1+1)=1\\frac16(1+1)(2*1+1)=1.
    Donc la proposition est vraie au rang 1.
  • Hérédité
    On suppose la proposition vraie à un certain rang nn, on va chercher à la montrer vraie au rang n+1n+1.
    Par hypothèse de récurence, on a : sumi=1ni2=fracn6(n+1)(2n+1)\\sum_{i=1}^{n}i^2=\\frac n6(n+1)(2n+1).
    On a donc d'une part

    ParseError: KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '&' at position 40: …_{i=1}^{n+1}i^2&̲=\\sum_{i=1}^ni…

    Et d'autre part

    ParseError: KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '&' at position 20: …gin{split} &̲\\frac{(n+1)}6\…

    Ainsi sumi=1n+1i2=frac(n+1)6((n+1)+1)(2(n+1)+1)\\sum_{i=1}^{n+1}i^2=\\frac{(n+1)}6((n+1)+1)(2(n+1)+1) et la proposition est vraie au rang n+1n+1.
  • Conclusion
    La proposition est vraie au rang 1 et elle est héréditaire, donc la proposition est vraie pour tout ninN∗n\\in\\N^*.

Exercice 2 (3 points)

Question 2.1

D'après le cours, on a :

ParseError: KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '&' at position 20: …gin{split} &̲\\embrace{ …

De l'équation cartésienne de la droite, on tire (a,b,c,d)=(1,1,1,−1)(a,b,c,d)=(1,1,1,-1).
Donc lambda=frac1+2+3−112+12+12=frac53\\lambda = \\frac{1+2+3-1}{1^2+1^2+1^2}=\\frac{5}{3}.

d'où boxedHtextdecoordoneˊes(−frac23;frac13;frac43)\\boxed{H\\text{ de coordonées } (-\\frac23;\\frac13;\\frac43)}.

Question 2.2

AA′=2AHAA'=2AH donc

ParseError: KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '&' at position 16: \\begin{split} &̲\\embrace{ …

D'où boxedA′textdecoordoneˊes(−frac73;−frac43;−frac13)\\boxed{A'\\text{ de coordonées} (-\\frac73;-\\frac43;-\\frac13)}.

Exercice 3 (6 points)

Question 3.1

  • boxedvectorAB=binom−3−1\\boxed{\\vector{AB}=\\binom{-3}{-1}}

  • a = fracvectorAByvectorABxRightarrowboxeda=frac13\\frac{\\vector{AB}_y}{\\vector{AB}_x}\\Rightarrow \\boxed{a=\\frac13}

  • À partir du point AA et du vecteur vectorAB\\vector{AB}, une représentation paramétrique est :

ParseError: KaTeX parse error: Expected '}', got '&' at position 47: …brace{ &̲x(t)=1-3t\\\\ …

  • tAt_A tel que A=A+tA∗vectorABRightarrowboxedtA=0A=A+t_A*\\vector{AB}\\Rightarrow \\boxed{t_A=0}

  • tBt_B tel quel B=A+tB∗vectorABB=A+t_B*\\vector{AB}
    RightarrowB−A=tB∗vectorAB\\Rightarrow B-A=t_B*\\vector{AB}
    RightarrowvectorAB=tB∗vectorAB\\Rightarrow \\vector{AB}=t_B*\\vector{AB} RightarrowboxedtB=1\\Rightarrow \\boxed{t_B=1}

  • Une équation cartésienne de la droite est de la forme :
    y=frac13x+by=\\frac13x+b
    Puisque Ain(AB)Rightarrow2=frac13∗1+bA\\in(AB)\\Rightarrow2=\\frac13*1+b
    Rightarrowb=frac53\\Rightarrow b = \\frac53

    D'où boxedy=frac13x+frac53\\boxed{y=\\frac13x+\\frac53}

Question 3.2

  • des vecteurs directeurs du plan sont :

boxedvectorABvecTh−1−2phantom−1quadtextetquadvectorACvecTh−3phantom−0phantom−2\\boxed{\\vector{AB}\\vecTh{-1}{-2}{\\phantom-1}\\quad\\text{et}\\quad\\vector{AC}\\vecTh{-3}{\\phantom-0}{\\phantom-2}}

  • À partir du point AA et des vecteurs vectorAB\\vector{AB} et vectorAC\\vector{AC}, une représentation paramétrique est :

ParseError: KaTeX parse error: Expected '}', got '&' at position 24: …\\embrace{ &̲x(t)=1-t-3s\\\\…

  • tA,sAt_A,s_A tels que A=A+tA∗vectorAB+sA∗vectorACRightarrowboxed(tA,sA)=(0,0)A=A+t_A*\\vector{AB}+s_A*\\vector{AC}\\Rightarrow\\boxed{(t_A,s_A)=(0,0)}

  • tB,sBt_B,s_B tels que B=A+tB∗vectorAB+sB∗vectorACB=A+t_B*\\vector{AB}+s_B*\\vector{AC}
    RightarrowvectorAB=tB∗vectorAB+sB∗vectorACRightarrowboxed(tB,sB)=(1,0)\\Rightarrow \\vector{AB}=t_B*\\vector{AB}+s_B*\\vector{AC}\\Rightarrow\\boxed{(t_B,s_B)=(1,0)}

  • tC,sCt_C,s_C tels que C=A+tC∗vectorAB+sC∗vectorACC=A+t_C*\\vector{AB}+s_C*\\vector{AC}
    RightarrowvectorAC=tC∗vectorAB+sC∗vectorACRightarrowboxed(tC,sC)=(0,1)\\Rightarrow \\vector{AC}=t_C*\\vector{AB}+s_C*\\vector{AC}\\Rightarrow\\boxed{(t_C,s_C)=(0,1)}

  • Grâce au vecteur normal à PP vecn=vectorABwedgevectorAC=(4,1,6)\\vec n=\\vector{AB}\\wedge\\vector{AC}=(4,1,6), on peut dire que la droite est de la forme
    4x+y+6z+d=04x+y+6z+d=0
    AinPA\\in P donc 4∗1+1∗1+6∗0+d=54*1+1*1+6*0+d=5
    D'où une équation cartésienne boxed4x+y+6z−5=0\\boxed{4x+y+6z-5=0}.

  • Une représentation paramétrique de la droite est donc

ParseError: KaTeX parse error: Expected '}', got '&' at position 24: …\\embrace{ &̲x(t)=1+4t\\\\ …

Exercice 4 (3.5 points)

Question 4.1

On remarque que boxedC=A+BtextdoncA,B,Ctextestlieˊe\\boxed{C=A+B \\text{ donc } \\{A,B,C\\} \\text{ est liée} }.

Si la combinaison linéaire ne nous saute pas aux yeux, on peut aussi chercher (alpha,beta,gamma)inR3(\\alpha,\\beta,\\gamma)\\in\\R^3, tels que alphaA+Betab+gammac=0\\alpha A+\\Beta b+\\gamma c=0. Si un tel triplet existe, alors la famille est liée.

Question 4.2

On choisit A,B\\{A,B\\} comme candidate en tant que Base de FF :

  • A,B\\{A,B\\} génératrice de FF :

    F=VectA,B,CF=Vect\\{A,B,C\\}, or A,B,C\\{A,B,C\\} liée donc VectA,B,C=VectA,BVect\\{A,B,C\\}=Vect\\{A,B\\}.
    Ainsi F=VectA,BF=Vect\\{A,B\\} et A,B\\{A,B\\} est génératrice de FF.

  • A,B\\{A,B\\} libre :

    Les vecteur AA et BB sont des vecteurs non colinéaires donc ils forment la famille libre A,B\\{A,B\\}.

La famille boxedA,BtextestlibreetgeˊneˊratricedeFtext,c′estdoncunebasedeF\\boxed{\\{A,B\\} \\text{ est libre et génératrice de } F\\text{, c'est donc une base de } F}.

Question 4.3

boxedGtextestunplanvectorieletestdoncuns.e.v.deR3\\boxed{G \\text{ est un plan vectoriel et est donc un s.e.v. de } \\R^3}.

La dimension de GG est 2, donc il suffit de trouver 2 vecteur non colinéaires de GG pour qu'ils forment une base de GG.
On repart de l'équation du plan : x+2y+z=0x+2y+z=0.
Si on fixe x=0x=0 et y=1y=1, on a 2+z=02+z=0, d'où z=−2z=-2.
Si on fixe x=1x=1 et y=0y=0, on a 1+z=01+z=0, d'où z=−1z=-1.

Donc boxedtextunebasedeGtextest(0,1,−2),(1,0,−1)\\boxed{\\text{ une base de } G \\text{ est } \\{(0,1,-2),(1,0,-1)\\} }.

Question 4.4

FF est engendré par la famille de deux vecteurs A,B\\{A,B\\}, sa dimension est donc égale à 2.
On a donc boxedDim(F)=Dim(G)=2\\boxed{Dim(F)=Dim(G)=2}, il ne reste alors plus qu'a montrer l'inclusion de FF dans GG pour montrer l'égalité.
Pour cela, il nous suffit de vérifier que les vecteurs formant la base de FF appartiennent à GG.

  • A(1,−1,1)A(1, -1, 1) : 1−2+1=01-2+1=0 donc AinGA\\in G.
  • B(0,−1,2)B(0, -1, 2) : −2+2=0-2+2=0 donc BinGB\\in G.

La base A,B\\{A,B\\} de FF appartient à GG, donc boxedFsubGtextetF=G\\boxed{F\\sub G \\text{ et } F=G}.

Exercice 5 (4.5 points)

Question 5.1

Vrai.
Il s'agit d'un plan vectoriel.

Question 5.2

Vrai.
Il s'agit d'une droite vectorielle.

Question 5.3

Faux.
0R3notinF30_{\\R^3}\\notin F_3.

Question 5.4

Faux.
Soient a(2,2),b(−1,−4)inF4a(2,2), b(-1,-4)\\in F_4, a+b=(1,−2)a+b = (1,-2).
Mais 12+1∗(−2)=−1lt01^2+1*(-2)=-1\\lt0, donc F4F_4 n'est pas stable par combinaison linéaire.

Question 5.5

Faux.
0R2notinF50_{\\R^2}\\notin F_5.

Question 5.6

Faux.
0mathcalF(R,R)notinF60_{\\mathcal{F}(\\R,\\R)}\\notin F_6.

Question 5.7

Vrai.
0mathcalF(R,R)inF70_{\\mathcal{F}(\\R,\\R)}\\in F_7.
Et alpha∗0+0=0,forallalphainR\\alpha*0+0=0,\\forall \\alpha\\in\\R.

Question 5.8

Faux.
Soit f:xrightarrowx,finF8f: x\\rightarrow x, f\\in F_8.
Mais −1∗f:xrightarrow−xnotinF8-1*f: x\\rightarrow -x \\notin F_8, donc F8F_8 n'est pas stable par combinaison linéaire.

Question 5.9

Vrai.
La suite nulle appartient à F9F_9.
Et alpha∗0+0=0,forallalphainR\\alpha*0+0=0,\\forall \\alpha\\in\\R.