% \global\newcommand{\n}{\\ \ \\}
% \global\newcommand{\embrace}[3]{
% \left#2
% \begin{split}
% #1
% \end{split}
% \right#3
% }
% \global\newcommand{\aembrace}[1]{
% \embrace{#1}{\{}{\}}
% }
% \global\newcommand{\pembrace}[1]{
% \embrace{#1}{(}{)}
% }
% \global\newcommand{\cembrace}[1]{
% \embrace{#1}{[}{]}
% }
% \global\newcommand{\vec}[1]{\overrightarrow{#1}}
le td1
f : R 2 → R f ( x , y ) = ( x + y ) 2 x 2 + y 2 ∇ → f = ( δ f δ x δ f δ y ) lignes de niveau: f(x,y) = cst gradient perpendiculaires aux lignes de niveaux Si ∇ → f ( x , y ) = 0 → ⇒ (x,y) est un pt critique ∇ → f pointe vers la ou ca monte le plus
\begin{split}
&f:\R^2\rightarrow\R\n
&f(x,y)=\frac{\pembrace{x+y}^2}{x^2+y^2}\n
&\vec{\nabla}f=\pembrace{
&\frac{\delta f}{\delta x}\\
&\frac{\delta f}{\delta y}
}\n
&\text{lignes de niveau: f(x,y) = cst}\\
&\text{gradient perpendiculaires aux lignes de niveaux}\\
&\text{Si }\vec{\nabla}f(x,y)=\vec{0}\Rightarrow\text{ (x,y) est un pt critique}\\
&\vec{\nabla}f\text{ pointe vers la ou ca monte le plus}
\end{split}
f : R 2 → R f ( x , y ) = x 2 + y 2 ( x + y ) 2 ∇ f = δ x δ f δy δ f lignes de niveau: f(x,y) = cst gradient perpendiculaires aux lignes de niveaux Si ∇ f ( x , y ) = 0 ⇒ (x,y) est un pt critique ∇ f pointe vers la ou ca monte le plus
oui
f ( x 0 + h , y 0 + k ) = f ( x 0 , y 0 ) + 1 2 ( r h 2 + 2 s h k + t k 2 ) + ∣ ∣ ϵ ( h , k ) ∣ ∣ 2 ϵ ( h , k ) r = δ 2 f δ x 2 s = δ 2 f δ x δ y = δ 2 f δ y δ x t = δ 2 f δ y 2 si f ( x 0 + h , y 0 + k ) ≥ f ( x 0 , y 0 ) ∀ ( h , k ) ⇒ ( x 0 , y 0 ) est un min si f ( x 0 + h , y 0 + k ) ≤ f ( x 0 , y 0 ) ∀ ( h , k ) ⇒ ( x 0 , y 0 ) est un max \begin{split}
&f(x_0+h,y_0+k)=f(x_0,y_0)+\frac12\pembrace{rh^2+2shk+tk^2}+||\epsilon(h,k)||^2\epsilon(h,k)\n
&r=\frac{\delta^2f}{\delta x^2}\quad s=\frac{\delta^2f}{\delta x\delta y}=\frac{\delta^2f}{\delta y\delta x}\quad t=\frac{\delta^2 f}{\delta y^2}\n
&\text{si } f(x_0+h,y_0+k) \ge f(x_0,y_0)\quad \forall(h,k)\Rightarrow (x_0,y_0)\text{ est un min}\n
&\text{si } f(x_0+h,y_0+k) \le f(x_0,y_0)\quad \forall(h,k)\Rightarrow (x_0,y_0)\text{ est un max}\n
\end{split}
f ( x 0 + h , y 0 + k ) = f ( x 0 , y 0 ) + 2 1 ( r h 2 + 2 s hk + t k 2 ) + ∣∣ ϵ ( h , k ) ∣ ∣ 2 ϵ ( h , k ) r = δ x 2 δ 2 f s = δ x δy δ 2 f = δyδ x δ 2 f t = δ y 2 δ 2 f si f ( x 0 + h , y 0 + k ) ≥ f ( x 0 , y 0 ) ∀ ( h , k ) ⇒ ( x 0 , y 0 ) est un min si f ( x 0 + h , y 0 + k ) ≤ f ( x 0 , y 0 ) ∀ ( h , k ) ⇒ ( x 0 , y 0 ) est un max
q ( h , k ) = r h 2 + 2 h k + t k 2 = r ( h 2 + 2 s h k r + t k 2 r ) = r ( ( h + s k r ) 2 − s 2 k 2 r 2 + t k 2 r ) = r ( ( h + s k r ) 2 + k 2 ( t r − s 2 r 2 ) ) = r ( ( h + s k r ) 2 + k 2 ( r t − s 2 r 2 ) ) \begin{split}
q(h,k)&=rh^2+2hk+tk^2\n
&=r\pembrace{h^2+\frac{2shk}{r}+\frac{tk^2}{r}}\n
&=r\pembrace{\pembrace{h+\frac{sk}{r}}^2-\frac{s^2k^2}{r^2}+\frac{tk^2}{r}}\n
&=r\pembrace{\pembrace{h+\frac{sk}{r}}^2+k^2\pembrace{\frac{t}{r}-\frac{s^2}{r^2}}}\n
&=r\pembrace{\pembrace{h+\frac{sk}{r}}^2+k^2\pembrace{\frac{rt-s^2}{r^2}}}\n
\end{split}
q ( h , k ) = r h 2 + 2 hk + t k 2 = r ( h 2 + r 2 s hk + r t k 2 ) = r ( ( h + r s k ) 2 − r 2 s 2 k 2 + r t k 2 ) = r ( ( h + r s k ) 2 + k 2 ( r t − r 2 s 2 ) ) = r ( ( h + r s k ) 2 + k 2 ( r 2 r t − s 2 ) )
s
r
t
q
conclusion
0
>0
>0
>0
min local
0
<0
<0
<0
max local
0
>0
<0
?
point selle
0
<0
>0
?
point selle
s
r
t
s²-rt
q
conclusion
≠0
>0
<0
>0
min local
≠0
<0
<0
<0
max local
≠0
?
>0
≠0?
point selle
≠0
=0
?
=0
dégénéré
≠0
>0
=0
>0
min local
≠0
<0
=0
<0
max local
def dune diff total exacte : ∣ ∮ Γ + d ω = 0 si d ω est une F.d ferm e ˊ e ω = P d x + Q d x ⇒ δ p δ y = δ Q δ x Thm de Green-Riemann ∣ ∬ D ( δ P δ y − δ Q δ x ) d x d y = ∮ δ D + P d x + Q d y Thm d’Ostrograsky ∣ ∭ V d i v F → = ∯ F → ⋅ d S → ∭ V d i v F → = lim V S → 0 ∬ S F → d s ⇒ d i v F → = δ F x δ x + δ F y δ y + δ F z δ z \begin{split}
&\text{def dune diff total exacte : }\\
&\embrace{
&\ \oint_{\Gamma^+}d\omega=0\\
&\ \text{si }d\omega\text{ est une F.d fermée}\\
&\ \omega=Pdx+Qdx\\
&\ \Rightarrow \frac{\delta p}{\delta y}=\frac{\delta Q}{\delta x}
}{|}{.}\n
&\text{Thm de Green-Riemann}\\
&\embrace{
&\iint_D\pembrace{\frac{\delta P}{\delta y}-\frac{\delta Q}{\delta x}}dxdy=\oint_{\delta D^+}Pdx+Qdy
}{|}{.}\n
&\text{Thm d'Ostrograsky}\\
&\embrace{
&\iiint_V div\vec{F}=\oiint\vec{F}\cdot\vec{dS}\\
&\phantom{\iiint_V}div\vec{F}=\lim_{V_S\rightarrow0}\iint_S\vec{F}ds\n
&\Rightarrow div\vec{F}= \frac{\delta Fx}{\delta x}+\frac{\delta Fy}{\delta y}+\frac{\delta Fz}{\delta z}
}{|}{.}
\end{split}
def dune diff total exacte : ∮ Γ + d ω = 0 si d ω est une F.d ferm e ˊ e ω = P d x + Q d x ⇒ δy δ p = δ x δ Q Thm de Green-Riemann ∬ D ( δy δ P − δ x δ Q ) d x d y = ∮ δ D + P d x + Q d y Thm d’Ostrograsky ∭ V d i v F = ∬ F ⋅ d S ∭ V d i v F = V S → 0 lim ∬ S F d s ⇒ d i v F = δ x δ F x + δy δ F y + δz δ F z
D = { ( x , y ) ∈ R 2 ∣ x ≥ 0 , y ≥ 0 , x 2 3 + y 2 3 < 1 } \begin{split}
&D = \aembrace{(x,y)\in\R^2\ |\ x\ge0,\ y\ge0,\ x^{\frac23}+y^{\frac23}\lt1}\n
\end{split}
D = { ( x , y ) ∈ R 2 ∣ x ≥ 0 , y ≥ 0 , x 3 2 + y 3 2 < 1 }
{ x = r c o s 3 θ y = r s i n 3 θ f ( x , y ) = x y ∣ δ x δ r δ x δ θ δ y δ r δ y δ θ ∣ = ∣ c o s 3 θ − 3 r c o s 2 θ s i n θ s i n 3 θ + 3 r s i n 2 θ c o s θ ∣ = 3 r s i n 2 θ c o s 4 θ + 3 r c o s 2 θ s i n 4 θ = 3 r [ c o s 4 θ s i n 2 θ + s i n 4 θ c o s 2 θ ] = 3 r s i n 2 θ c o s 2 θ ∗ ( c o s 2 θ + s i n 2 θ ) ⏟ = 1 = ∬ r 2 c o s 3 θ s i n 3 θ 3 r s i n 2 θ c o s 2 θ d r d θ = ∬ r 3 c o s 5 θ s i n 5 θ d r d θ c chiant donc on skip... = 1 80 \begin{split}
&\embrace{
&x=rcos^3\theta\\
&y=rsin^3\theta
}{\{}{.}\quad\quad f(x,y)=xy\n
&\embrace{
&\frac{\delta x}{\delta r}\quad \frac{\delta x}{\delta \theta}\\
&\frac{\delta y}{\delta r}\quad \frac{\delta y}{\delta \theta}
}{|}{|}=\embrace{
&cos^3\theta\quad-3rcos^2\theta sin\theta\\
&sin^3\theta\quad+3rsin^2\theta cos\theta
}{|}{|}\n
&=3rsin^2\theta cos^4\theta+3rcos^2\theta sin^4\theta\n
&=3r\cembrace{cos^4\theta sin^2\theta +sin^4\theta cos^2\theta}\n
&=3r sin^2\theta cos^2\theta\quad *\underbrace{\pembrace{cos^2\theta+sin^2\theta}}_{=1}\n
&=\iint r^2cos^3\theta sin^3\theta 3r sin^2\theta cos^2\theta \ dr d\theta\n
&=\iint r^3 cos^5\theta sin^5\theta \ dr d\theta\n
&\text{c chiant donc on skip...}\n
&=\frac1{80}
\end{split}
{ x = rco s 3 θ y = rs i n 3 θ f ( x , y ) = x y δr δ x δ θ δ x δr δy δ θ δy = co s 3 θ − 3 rco s 2 θ s in θ s i n 3 θ + 3 rs i n 2 θ cos θ = 3 rs i n 2 θ co s 4 θ + 3 rco s 2 θ s i n 4 θ = 3 r [ co s 4 θ s i n 2 θ + s i n 4 θ co s 2 θ ] = 3 rs i n 2 θ co s 2 θ ∗ = 1 ( co s 2 θ + s i n 2 θ ) = ∬ r 2 co s 3 θ s i n 3 θ 3 rs i n 2 θ co s 2 θ d r d θ = ∬ r 3 co s 5 θ s i n 5 θ d r d θ c chiant donc on skip... = 80 1
