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Suites

1. Topologie de $\R$

Def

• L'application d :

$$\R \times \R\rightarrow\R^+ \\ (x,y)\rightarrow d(x,y)\\ d(x,y)=\abs{y-x} \text{est la distance canonique de }\R\\ \text{La boule }B(a)=\aembrace{x\in\R\ | \abs{x-a}\lt r} \text{ est l'intervalle}\\$$

• Voisinage:

$$\mathcal{V}\text{ est un voisinage de a ssi}\\ \exist \alpha\gt0\quad \embrace{a-\alpha;a+\alpha}{]}{[}\subset \mathcal{V}$$

• ouvert

$$\Omega \text{ est un ouvert dans $\R$ ssi est voisinage de chacun de ses parents.}$$

• fermé

$$\text{F est un fermé dans $\R$ ssi le complémentaire de F est ouvert}\\ \text{(Un point est un fermé, Un ensemble fini de points est un fermé)}$$

• Ex

$$A = \cembrace{0,3}\\ \text{est un voisinage de $\frac12$ car}\\ \embrace{\frac12-\frac14\ ;\ \frac12+\frac14}{]}{[}\subset A$$

$$\text{Tout intervalle ouvert I $]a,b[$ est un ouvert}\\ \text{si $x_0$ plus près de a que de b}\\ \embrace{x_0-\frac{\varepsilon}2\ ;\ x_0+\frac{\varepsilon}2}{]}{[}\subset\ ]a,b[\\ \text{mais $[a,b]$ n'est pas ouvert car aucun }\\ \text{intervalle n'est centré en a ou b}$$

• Compact

  $$\text{Un intervalle compact est un intervalle fermé et borné}\\ \text{$[a,b]$ est un compact, mais pas $[a;+\infty[$ ; $]-\infty;b]$ ; $]-\infty;+\infty[$}$$

• Adhésion

$$A\subset\R\quad a\in\R\\ \text{$a$ est adhérent à $A$ ssi tout voisinage de $a$}\\ \text{a un point commun avec $A$}\\ \text{l'ensemble des points adhérents de $A$ est noté $\overline{A}$}\\ A\subset\overline{A}\n \text{si $A\subset B\subset\overline{A}$}\\ \text{On dit que $B$ est dense dans $A$}\n \text{$\mathbb{Q}$ est dense dans $\R$}\\ \text{$\overline{A}$ est le plus petit fermé contenant $A$}\n \text{Tout point de $A$ est adhérent à $A$ mais il peut exister des points}\\ \text{$a \notin A$ qui soient adhérents à $A$} A = \aembrace{1,\frac12,\frac13,\dots}$$

• Points particuliers

$$\text{Pour tout point adhérent $x$ à un intervalle $A$ de $\R$ il y a 2 possibilités}$$

$$\text{Dans tout voisinage de $x$ il y a une infinité de points de $A$}\\ \text{$x$ est un point d'accumulation}$$

$$\text{Dans un voisinage de $x$ il n'y a aucun point de $A$ autre que $x$}\\ \text{$x$ est un point isolé}$$

• Majorants/Minorants

$$A\subset\R\\ \text{$M$ est un majorant de A}\\ \text{ssi } \forall a\in A\quad a\le M\\ \text{$m$ est un minorant de A}\\ \text{ssi } \forall a\in A\quad a\ge m\n \text{$b_s=$borne supérieure}\equiv\text{le plus petit des majorants}\\ \text{$b_i=$borne inférieure}\equiv\text{le plus grand des minorants}\\ \Rightarrow\quad \embrace{&b_s=\sup A\\&b_i=\inf A}{|}{.}$$

2. Suites de nombres réels

Def

• Suite

  Une suite de nombre réels est une application de $\N$ dans $\R$

  $$\left.\begin{split} (u_n)_{n\in\N}\quad\embrace{ &\N\rightarrow\R\\ &n\rightarrow u_n=f(n)}{.}{.}\n \end{split}\right.$$

  $(u_n)$ : la suite

  $u_n$ : le terme général

• Convergence de Suite $(u_n)$

  limite L d'une suite convergente $\forall\varepsilon\gt0,\exist\ \eta_0\in\N$ $\left\{\forall n\gt n_0\Rightarrow\ |u_n-L|\lt\varepsilon\right\}$

  $$u_n =\frac1n+\frac{(-1)^n}{2^n}\n \embrace{ &n=1\quad1+\frac{-1}2=\frac12=0,5\\ &n=2\quad\frac12+\frac14=\frac34=0,75\\ &n=3\quad\frac13-\frac1{2^3}=\frac13-\frac18=\frac5{24} }{|}{.}$$

  • Théorème

    • Toute suite de nombres réels croissante et majorée possède une limite (converge)

    • Toute suite de nombres réels décroissante et minorée converge

• Théorème de Bolzano-Weierstrass

  Toute infinité de points coincés entre a et b s'accumule pour tout point

  Toute partie bornée $P$ de $\R$ comportant une infinité de points possède au moins un point d'accumulation

• Suite extraite

  $(u_n)$ : suite

  $(V_n) = (u_{\alpha(n)})$ : suite extraite de $(u_n)$

  Toute suite extraite d'une suite convergente converge vers la même limite L

• Intervalles emboités

  $I_n=[a_n,b_n]$ Suite décroissante d'intervalles

  $|b_n-a_n|\ \rightarrow0$ pour $n\rightarrow0$

  Ces intervalles ont en commun le seul point limite L

• Suite adjacente $(u_n),(v_n)$ sont adjacentes ssi

  $$\embrace{ \ &\forall n\in\N\quad v_n\ge u_n\n &(u_n)\text{ est croissante}\\ &(v_n)\text{ est décroissante}\n &\lim_{n\rightarrow\infty}\abs{v_n-u_n}=0}{|}{.}$$