Théorème de Flux-Divergence Ostrogradsky

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$$\oiint \vec{F}.\vec{ds} = \iiint_Vdiv\vec{F}\ dV\n\n <schema 1>\n\n \embrace{ &\text{Définition de la divergence d'un vecteur } \vec{F}\n &div\vec{F}= \lim_{V_S\rightarrow\ 0}\oiint_S\vec{F}.\vec{ds}\\ &\hspace{2cm}\frac{S\quad }{\quad V_S}\\ &\hspace{2cm}V_S=\delta^3\n &<schema 2>\n &F_y(y+\frac{\delta}2)\delta^2-F_y(y-\frac{\delta}2)\delta^2\\ &\ = \frac{F_y(y+\frac{\delta}2)-F_y(y-\frac{\delta}2)}{\delta}\delta^3\xrightarrow[\delta\rightarrow0]{}\frac{\delta F_y}{\delta y}\\ &\text{on repète ça sur les trois axes:}\\ &\ \Rightarrow \boxed{div\vec{F} =\frac{\delta F_x}{\delta x}+\frac{\delta F_y}{\delta y}+\frac{\delta F_z}{\delta z}} }{|}{.}$$

Ex: Vérifier le théorème d'ostrogradsky

$$\vec{F}(x,y,z)=\pembrace{x\\y\\z}\hspace{1cm} \embrace{&\text{Sur un volume cubique}\\&\text{centré sur O de côté 2R}}{.}{.}\n \begin{split} &\vec{\nabla}.\vec{F} = \frac{\delta x}{\delta x} + \frac{\delta y}{\delta y} + \frac{\delta y}{\delta y} = 1+1+1=3\n &V=8R^3\hspace{1cm}\iiint div\vec{F}=3*8R^3\n &\oiint \vec{F}.\vec{ds}=\int_{S_1}+\dots+\int{S_6}\n &\text{<schema 3>}\n &\int_{-R}^R\int_{-R}^R R\ dzdx=4R^\ *2\ *3\quad \text{(car 2*x*3 faces)}\n &= 24R^3 \end{split}$$